“给你一个正方体，您能看到几个面？”引发的思考

 南京市建邺高级中学  袁子意

“给你一个正方体， 您能看到几个面？”这是我喜欢给每一届新学生出的一个问题。我请班长作为观察员，观察班级中发生的现象。能看到一个面的同学请举手，所有孩子都不假思索的举起手。能看到两个面的孩子请举手，坐在两侧的孩子举起了手。能看到三个面的孩子请举手，有些孩子调整了姿势，举起了手。我悄悄地收起正方体，问道： “给你一个正方体 您能看到几个面？”能看到四个面的孩子请举手，所有的孩子都皱起了眉头。等了一会，有三个孩子举起了手。能看到五个面的孩子请举手，那三个孩子继续保持举手的姿势，能看到六个面的孩子呢？有一个孩子放下了手，却又有一个孩子举起了手。

“班长，刚才这个活动，你看到了什么？你有什么感想？”我问。“老师：您想告诉我们，只要参与人人都能看到一个面。角度不同，你能看到两个面，调整我们的视角，也能看到三个面。但后面看到四个面，五个面甚至是六个面就是个人的素养了，不是每个人都能看到的，我也不知道为什么能看到四个面，五个面，六个面。”我说，“你说的相当好，数学就是这样有一些数学知识是大家都能掌握的，有一些是需要换个角度去思考后才能掌握的。从看到三个面开始就需要大家主动的去换角度去看待问题了？”我们采访一下这几个能看到四个面的同学是如何看到的，第一位同学说，“老师，你让我们看，并没有说怎么看，我拿着正方体转着看六个面都能看到的。”第二位同学说“老师，我和他的想法一样，就是我动起来绕着正方转一圈，五个面是没有问题的。但第六个就不一定了。”这两位说完，学生们的表情有点奇怪都在皱眉头，似乎觉得不符合我的要求。“为什么不能动呢？给您一个正方体，主动地权力在你们的手里啊!现在我们就要求不许动。给你一个正方体， 您能看到几个面？”刚才的这两位放下了手，却有三个同学举起了手。“你们谈谈方法吧，一个孩子说：“老师，您的一个动作给了我暗示，您第二次问的时候悄悄的收起了那个正方体。我就想，正方体可以不是您给的这个正方体，您在这里设下了一个陷阱。我看大家都在思考，我就四处看看。突然，我就想到我坐在的这个教室不就是一个正方体吗？一开始，我就看到了五个面，然后我调整了一下姿势，果然六个面都能看到了。”另一个孩子说，“老师，我就是看到他的动作后，就知道答案了。”再一个孩子说，“前面两个同学，告诉我们只要转变观念就可以实现不一样的想法。我突然想到，原先我是从外看，能不能从里面看能。我们对正方体的认识是实心的，其实未必。然后我也想到了教室。就知道了答案了。”

“班长，你听了有何感受。”我问。“老师，我知道，您是想让我说说如何学好数学，我的想法就是要动起来。从不同的视角去看待知识。”“说的很好，我想谈谈看到六个面是意味着什么，学到最好需要什么？“六个面是大多数同学看不到的，学到最好需要你真正的走进数学里面去。”这是我想让学生能够有所领悟的道理。

没想到这节课的功效却在一节数列课后首先让我自己有很大的感悟。

在教授等差数列这部分内容后，做为拓展知识，我介绍了自然数平方前n项和公式的证明：

Sn= =12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6  证：

?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，则：    

23－13=3×12＋3×1＋1（n从1开始）

33－23=3×22＋3×2＋1

 43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

 63－53=3×52＋3×5＋1 …

 (n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得： 

 (n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n

 (n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n      ?

Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

用这样的方法你可以求出自然数的1至n幂的求和公式：

Sn =1³+2³+3³+…+n³

Sn =1⁴+2⁴+3⁴+…+n⁴

课后，我对学生说：“你们回去后也可以尝试一下。”

晚上十一点钟，我的手机响了。耳边传来学生激动的话语：“老师，我们几个人算了好多个了！我们班的学霸准备算到三点。明天问你一个数列的通项公式，你要准备好哦！”这么一来，我这就睡不好了，赶紧起床上网搜索相关资料，仔细的读了一读，也算了半天，然后带着满脑子的数字走进了梦乡。

第二天，昨天打电话那几个同学带着一叠他们计算的稿纸拿来给我看，也给了我一串式子。

  

学生们问：“这是我们按照您给的方法计算出来的结果，你不是让我们要用不同的视角看待问题的吗？第一列、第二列、第三列、第四我们都找出了规律了，但第五列我们看不出规律。老师，这个自然数的幂的前n项和有通项公式吗？这个通项公式怎样求呢？第四列0怎么解释呢？纵向构成的数列可以写通项公式呢？” 他们一连串问了我好多的问题。

中午，我带着这几个孩子又用倒序相加方法再次推导了公式（由于篇幅原因，证明过程略去）。 “这是用倒序相加的想法推倒的自然数的2次与二次以上幂的求和方法。这个简单的你们能够听懂的，关键是这个方法推导公式我们会发现可以借助今后我们学的知识二项式定理去解决你所困惑的系数的规律问题。”其实，我讲这段话的时候，对后面学生提出的问题还是不能完全解答的，只是我知道我可以找到解决的方法与方向。昨天晚上我自己推导了三次问题。计算量也是很大的。网上有关的研究有很多，安徽的一个本科学生的本科毕业论文通过自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。而斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式的关系正好可以解答孩子的问题。这些孩子如果保持对这个问题的热情，到了高二学到二项式定理的时候继续会和我探讨这个问题的。那时后，他们会看到二项式定理神奇的作用。这会是其他孩子不能体会到的。因为对于这个问题，孩子是有巨大热情的。他们通过自己的计算发现了问题，渴望了解并解决这个问题。我也有一些担忧，我自己有这样的热情与能力吗？如果我的孩子都对这样的问题着迷，我恐怕要寝食难安了。对这个问题的研究我是既兴奋也头疼。作为他的数学老师，孩子能对数学如此的热爱，着实不易。头疼的是，想把这个问题讲清楚可真不是一件简单的事。原先自己报考数学系的原因就是喜欢数学，小时侯也问过老师很多稀奇古怪的问题。当年我的老师上课时补充了很多课外的数学知识给我。现在我的学生大多数已经在现有的知识体系中满足了，他们常常问，老师这道题怎么做。很难得提出一个有价值的研究方向？学生研究数学的时间与空间都太小了。我们要求学生变换角度，转换思想去看问题，最好能走进数学看问题。我自己走进数学里了吗？

我的思考：

本学期我主要负责《基于自我策划的初高中衔接教育校本研究》数学与德育方面的研究。里面有这样一些关键词，通过这个案例，我有这样的理解。

主动发展    

 从国际教育改革和发展趋势来看，教会学生积极主动发展是世界各国的共同目标。主动发展是指发展主体在一定的外部环境之下在与主客体相互作用的过程中通过不断实践和积累而获得的主体发展。我设计的开学第一课就是想促使学生通过孩子主动的变换视角，转换思考问题的方式达到对事物的认识与理解。也想告诉孩子，只有走进数学，你才能看到与做到别人不能看到与做到的方面。通过数列求和的课后与学生的小组学习，学生通过自己大量的演算后提出了一个很有价值的数学问题，在过程中学生的是主动的，态度是积极的，心中是有成就感的。

初高中衔接教育

“初高中衔接”时期特指高一新生入学后的第一个学期，是整个高中阶段的基石。进入高中后学生的心理、身体都会发生巨大变化，再加上初高中的教育教学在知识与能力，技能与方法等方面跨度很大，我们会感到高一新生的不适应感特别强烈。新课程将课程（学教）目标分为知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个维度。三维教学目标不是三个目标，而是一个问题的三个方面。我们教学中注重了知识与技能，过程与方法，常常忽略了一些孩子情感态度价值观的发展上的衔接，情感不仅指学习兴趣、学习责任，更重要的是乐观的生活态度、求实的科学态度、宽容的人生态度。通过开学第一课，让孩子知道一个正方体，不同人看到的面是不同的。不同的孩子的情感需求是不一样的，对于一些热爱数学的孩子，培养一种对待科学的孜孜不倦的探索精神是必要的。而对于一些数学本身不好的学生，让他们理解掌握一些必须的数学知识以及思维方式也是必须的。这些都应该是我们三维目标所要传达的，但恰恰是我们教学中所忽视的。

教师自身发展

     教师的自身发展对孩子相当重要，通过教学设计让孩子能够有意识的主动的变换角度看待问题，通过体验式教学让孩子感受到同样的学习环境下，不同的孩子的认识方式的不同从而有了不同的认知效果。通过与孩子的小组学习，共同成长；通过网络学习，拓宽自己的视野。教师的发展首要的是学科专业化，陶行知先生说得好：“要想学生学的好，必须先生先好学。”引发孩子对学科热情的首先是教师的学科专业化。如果孩子不能从学科中体验到探究的乐趣，发现问题解决问题的乐趣，共同讨论时观点碰状的乐趣。这样的学习热情很难得到保持，一味的追求分数的教学是不能提高孩子的素养的。

培养自己的创新能力和实践能力，成为一名学习型教师，必须将学习进行到底，不断学习新知识，改进自己的知识结构，拓宽视野，树立终身学习的理念，“活到老，学到老”。